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二、数学基础的元语言不可定义 然而,基于严格定义的数学,却遇到了麻烦,这就是悖论。数学悖论的出现以及一直未能得到解决,对逻辑主义产生了强烈冲击。 数学基础的一个基本要求就是数学系统内部是一致的,即无矛盾。但从19世纪末20世纪初开始,康托尔(Kantor,G.)、布拉里·福蒂(Borali-Forti)、罗素(Russell,B.)等发现的悖论给数学基础带来了危机。罗素悖论(Russell’s Paradox)最为典型。罗素给出了一个集合 A,A 是所有不包含自身的集合所构成的集合。那么 A 包含不包含 A 自身? 如果不包含,由 A 的定义,A 应属于A。如果 A 包含自身的话,A 又不属于 A。这就是罗素悖论的实质。20世纪数学基础的核心问题是如何解决悖论。 罗素(1903)已经认识到这类悖论是在自己说自己,他称为自反性,他想通过类型论来解决悖论,塔尔斯基(Tarski,1949)也试图区分句子的层阶来解决悖论。罗素和塔尔斯基的做法都是要区分对象语言和元语言。但是元语言的词汇和规则的意义用什么来定义和解释? 又得有元元语言。这样下去是无止境的。这就是说,元语言不可能通过定义和解释来实现。这也说明,要把数学基础建立在逻辑基础上还不成功。 如果不区分对象语言和元语言,可不可以建立统一的数学基础?数学基础中形式主义学派就是不区分对象语言和元语言。希尔伯特(Hilbert,D.)倡导的公理系统完全形式化方案(Hilbert’s program),就是在不区别对象语言和元语言的基础上把数学建立在坚实的逻辑基础上。维特根斯坦《逻辑哲学论》(3.331-3.333)认为罗素的类型论错了,因为提到了符号的意义。维特根斯坦也认为用完全形式化可以排除悖论,即用F(Ou)代替F(Fu)。形式主义认为数学是遵循形式规则的符号操作,前期维特根斯坦也是形式主义者。然而,哥德尔(Gdel,K.)的不完全性定理的出现,公理系统完全形式化被证明是不可能的。图灵(Turing,A.M.1936)提出的算法模型图灵机,也支持哥德尔不完全性定理的结论。从语言理论的角度看,我们认为哥德尔定理揭示了在完全形式化系统中存在对象语言和元语言不分的语句。很多人在哥德尔证明中是否涉及悖论问题争论不休,这取决于人们怎样理解“涉及”,哥德尔(1931)的德语原文中构建的语句是这样的:  这里的Bew是德语beweisbare(可证明)的缩写,Bew上加一杠表示不可证明。这个表述的核心意思是说,有一个关于数 n 的性质的命题,它的代码为n,“n是不可证的”也有一个代码,也是n。于是有: n:n是不可证的 这正是元语言和对象语言不分的语句,也就是罗素所说的自己说自己的语句。从这里可以看出,完全形式化的证明会混淆元语言和对象语言,但表面上给人以严格的印象,这可能是后期维特根斯坦对形式化证明表示反感的原因。 (责任编辑：admin) |